cho x, y, z thay đổi, nhận gt thuộc đoạn \(\left[0;4\right]\)
tìm gtln của A = \(4\left(x+y+z\right)-\left(xy+yz+zx\right)\)
Những câu hỏi liên quan
cho x, y, z thay đổi, thuộc đoạn \(\left[0;4\right]\)
tìm gtln của A = \(4\left(x+y+z\right)-\left(xy+yz+zx\right)\)
Cho x;y;z thuộc [0;4] .Tìm Max của biểu thức sau
P=\(\sqrt{xy}\left(x-y\right)+\sqrt{yz}\left(y-z\right)+\sqrt{zx}\left(z-x\right)\)
Mn giúp mình bài này vs .HELP ME!!!!!!!!!
Cho các số x,y,z thay đổi thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 1. Tìm GTLN của biểu thức \(P=xy+yz+zx+\frac{1}{2}\left[x^2\left(y-z\right)^2+y^2\left(z-x\right)^2+z^2\left(x-y\right)^2\right]\)
\(2P-2=2\left(xy+yz+zx\right)-2\left(x^2+y^2+z^2\right)+x^2\left(y-z\right)^2+y^2\left(z-x\right)^2+z^2\left(x-y\right)^2\)
\(=-\left(x-y\right)^2-\left(y-z\right)^2-\left(z-x\right)^2+x^2\left(y-z\right)^2+y^2\left(z-x\right)^2+z^2\left(x-y\right)^2\)
\(=\left(x-y\right)^2\left(z^2-1\right)+\left(y-z\right)^2\left(x^2-1\right)+\left(z-x\right)^2\left(y^2-1\right)\le0\)
\(\text{( Do }x^2;y^2;z^2\le1\text{)}\)
\(\Rightarrow2P\le2\Rightarrow P\le1\)
\(\text{Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 trong 3 số bằng 1; 2 số còn lại bằng 0.}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
20 tháng 8 2023 lúc 9:37
Cho 3 số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(x+y+z=3\). Tìm GTLN của biểu thức \(P=\dfrac{yz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\dfrac{zx}{\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\dfrac{xy}{\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho cặp số dương \(\dfrac{1}{\left(z+x\right)};\dfrac{1}{\left(z+y\right)}\)
\(\dfrac{1}{\left(z+x\right)}+\dfrac{1}{\left(z+y\right)}\ge\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{xy}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\le\dfrac{2xy}{z+x}+\dfrac{2xy}{z+y}\left(1\right)\)
Tương tự ta được
\(\dfrac{zx}{\sqrt[]{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}\le\dfrac{2zx}{y+z}+\dfrac{2zx}{y+x}\left(2\right)\)
\(\dfrac{yz}{\sqrt[]{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{2yz}{x+y}+\dfrac{2yz}{x+z}\left(3\right)\)
\(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\) ta được :
\(P=\dfrac{yz}{\sqrt[]{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\dfrac{zx}{\sqrt[]{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\dfrac{xy}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\le\dfrac{2yz}{x+y}+\dfrac{2yz}{x+z}+\dfrac{2zx}{y+z}+\dfrac{2zx}{y+x}+\dfrac{2xy}{z+x}+\dfrac{2xy}{z+y}\)
\(\Rightarrow P\le2\left(x+y+z\right)=2.3=6\)
\(\Rightarrow GTLN\left(P\right)=6\left(tạix=y=z=1\right)\)
Đúng 3
Bình luận (0)
cho x,y,z ∈ [0;4]. Tìm GTLN của
\(P=\sqrt{xy}\left(x-y\right)+\sqrt{yz}\left(y-z\right)+\sqrt{xz}\left(z-x\right)\)
Cho x,y,z > 0 thỏa xy+yz+zx=xyz. Chứng minh:
\(\frac{x^4+y^4}{xy\left(x^3+y^3\right)}+\frac{y^4+z^4}{yz\left(y^3+z^3\right)}+\frac{z^4+x^4}{zx\left(z^3+x^3\right)}\ge1\)
Cho x,y,z là các số thực thuộc đoạn [0:4]. Tìm giá trị lớn nhất của :P= \(\sqrt{xy}\left(x-y\right)+\sqrt{yz}\left(y-z\right)+\sqrt{zx}\left(z-x\right)\)
ta có:(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)(ab+bc+ca)-abcgeleft(a+b+cright)left(ab+bc+caright)-frac{1}{9}left(a+b+cright)left(ab+bc+caright)frac{8}{9}left(a+b+cright)left(ab+bc+caright)frac{x}{x+yz}+frac{y}{y+zx}+frac{z}{z+xy}frac{x}{left(x+yright)left(x+zright)}+frac{y}{left(y+xright)left(y+zright)}+frac{z}{left(z+xright)left(z+yright)}frac{2left(xy+yz+zxright)}{left(x+yright)left(y+zright)left(z+xright)}lefrac{9}{4left(xy+yz+zxright)}frac{9}{4}
Đọc tiếp
ta có:
(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\(\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)=\frac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}=\frac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y}{\left(y+x\right)\left(y+z\right)}+\frac{z}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}=\frac{2\left(xy+yz+zx\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\le\frac{9}{4\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{9}{4}\)
câu 1: giải hệ phương trìnhleft(x+yright)^2+left(y+zright)^4+....+left(x+zright)^{100}-left(y+z+xright)left(xyright)^2+2left(yzright)^4+....+100left(zxright)^{100}-[left(x+y+zright)+2left(yz+zx+xyright)+......+99left(x+y+zright)]left(frac{1}{x}+frac{1}{y}right)^2+left(frac{1}{y^2}+frac{1}{z^2}right)^2+...+left(frac{1}{x^{99}}+frac{1}{z^{99}}right)^2-frac{1}{left(xyright)^2+2left(yzright)^2+.....+99left(zxright)^2}tìm x,y,z
Đọc tiếp
câu 1: giải hệ phương trình
\(\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^4+....+\left(x+z\right)^{100}=-\left(y+z+x\right)\)
\(\left(xy\right)^2+2\left(yz\right)^4+....+100\left(zx\right)^{100}=-[\left(x+y+z\right)+2\left(yz+zx+xy\right)+......+99\left(x+y+z\right)]\)\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2+\left(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)^2+...+\left(\frac{1}{x^{99}}+\frac{1}{z^{99}}\right)^2=-\frac{1}{\left(xy\right)^2+2\left(yz\right)^2+.....+99\left(zx\right)^2}\)
tìm x,y,z
Đúng là chơi lừa bịp thực sự bài này rất dễ đây là cách giải:
ta có: \(\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^4+.....+\left(x+z\right)^{100}\ge0\)còn \(-\left(y+z+x\right)\le0\) nên phương trình 1 vô lý
tương tự chứng minh phương trinh 2 và 3 vô lý
vậy \(\hept{\begin{cases}x=\varnothing\\y=\varnothing\\z=\varnothing\end{cases}}\)
thực sự bài này mới nhìn vào thì đánh lừa người làm vì các phương trình rất phức tạp nhưng nếu nhìn kĩ lại thì nó rất dễ vì các trường hợp đều vô nghiệm
\(\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^4+...+\left(x+z\right)^{100}=-\left(y+z+x\right)\)
Đặt : \(A=\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^4+...+\left(x+z\right)^{100}\)
Ta dễ dàng nhận thấy tất cả số mũ đều chẵn
\(=>A\ge0\)(1)
Đặt : \(B=-\left(y+z+x\right)\)
\(=>B\le0\)(2)
Từ 1 và 2 \(=>A\ge0\le B\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(A=B=0\)
Do \(B=0< =>y+z+x=0\)(3)
\(A=0< =>\hept{\begin{cases}x+y=0\\y+z=0\\x+z=0\end{cases}}\)(4)
Từ 3 và 4 \(=>x=y=z=0\)
Vậy nghiệm của pt trên là : {x;y;z}={0;0;0}
Đặt :\(\left(xy\right)^2+2\left(yz\right)^4+...+100\left(zx\right)^{100}=A\)
Ta thấy các số mũ đều chẵn
Nên \(A\ge0\left(1\right)\)
Đặt : \(-\left[\left(x+y+z\right)+2\left(yz+zx+xy\right)+...+99\left(x+y+z\right)\right]=B\)
Vì có dấu âm ở trước VT
Nên \(B\le0\left(2\right)\)
Từ 1 và 2 <=> \(A=B=0\)
\(< =>x=y=z=0\)